16. Estimación del Error de una Medida Directa

La estimación del error de una medida tiene siempre una componente subjetiva. En efecto,
nadie mejor que un observador experimentado para saber con buena aproximación cuál es el
grado de confianza que le merece la medida que acaba de tomar. No existe un conjunto de
reglas bien fundadas e inalterables que permitan determinar el error de una medida en todos
los casos imaginables. Muchas veces es tan importante consignar cómo se ha obtenido un
error como su propio valor.
Sin embargo, la aplicación de algunos métodos estadísticos permite objetivar en gran medida
la estimación de errores aleatorios. La estadística permite obtener los parámetros de una
población (en este caso el conjunto de todas las medidas que es posible tomar de una
magnitud), a partir de una muestra (el número limitado de medidas que podemos tomar).

16.1. Mejor valor de un conjunto de Medidas

Supongamos que medimos una magnitud un número n de veces. Debido a la existencia de
errores aleatorios, las n medidas x1, x2, ...xn serán en general diferentes.
El método más razonable para determinar el mejor valor de estas medidas es tomar el valor
medio. En efecto, si los errores son debidos al azar, tan probable es que ocurran por defecto
como por exceso, y al hacer la media se compensarán, por lo menos parcialmente. El valor
medio se define por:
x=(1/n)[-(xi) (4)
y este es el valor que deberá darse como resultado de las medidas.

16.2. Dispersión y Error. Desviación Estándar

Evidentemente, el error de la medida debe estar relacionado con la dispersión de los valores;
es decir, si todos los valores obtenidos en la medición son muy parecidos, es lógico pensar
que el error es pequeño, mientras que si son muy diferentes, el error debe ser mayor.
Adoptando un criterio pesimista, podría decirse que el error es la semi diferencia entre el
valor máximo y el mínimo. Por ejemplo, en una serie de medidas de una magnitud que arrojen
los resultados: 2342 2351 2356 2357
2359 2362 2363 2365
2367 2368 2368 2370
2373 2374 2382 2389
los valores máximo y mínimo son 2342 y 2389. La semi diferencia es 235. La media es 2366,
con lo que si damos como resultado 2366(+/-)235, todos los valores del conjunto de medidas
están en el intervalo.
Este error es sin embargo excesivamente grande, además de que el criterio utilizado es
discutible. Parece más apropiado tomar como error la desviación media, es decir, el valor
medio de la diferencia de los datos respecto al valor central. Sin embargo, como los datos
difieren tanto por defecto como por exceso del valor medio, tal desviación se aproximaría a
cero. Para evitarlo suele tomarse, no el valor medio de las desviaciones, sino el valor medio
de las desviaciones al cuadrado. De esta forma todos los sumandos son positivos. Para que la
unidad de este número sea homogénea con la de los datos, se extrae la raíz cuadrada. El valor
resultante se llama desviación típica o desviación estándar del conjunto de datos.

16.3. Significado de la Desviación Estándar. La Distribución Normal

Los valores de la desviación estándar que hemos calculado en la sección anterior, son
realmente estimadores de este parámetro. El conjunto de las medidas de una magnitud,
siempre que exista un error accidental, pueden caracterizarse por medio de una distribución
estadística. Cuando el error es debido a un gran número de pequeñas causas independientes, la
distribución se aproxima a la llamada distribución normal.
La forma de representar en estadística una distribución es representando en abscisas el
conjunto de valores que pueden obtenerse en una medida y en ordenadas la probabilidad de
obtenerlos. En el caso de que la magnitud medida varíe de forma continua, en ordenadas se
representa la probabilidad por unidad de intervalo de la magnitud medida. En una distribución
continua, la probabilidad de que una medida esté entre dos valores x0 y x1 viene representada
por:
p=F(x)/x1/x0 (7)
Donde f(x) es la función de densidad de la distribución. La función de densidad representa la
probabilidad (por unidad de intervalo de la magnitud medida) de obtener un determinado
valor en una medida. Obviamente:
F(X)/(+00)/(-00)=1 (8)
puesto que es seguro (probabilidad 1) obtener un valor cualquiera cuando se mide una
magnitud.
La función de densidad de la distribución normal tiene el aspecto reflejado en la figura 1.
Recibe también el nombre de campana de Gauss debido a su forma. Está caracterizada por
dos parámetros: media y desviación estándar. La media es el valor que con mayor
probabilidad aparecerá en una medida. La desviación estándar refleja lo abierta o cerrada que
es la campana de Gauss correspondiente. Una distribución muy cerrada se corresponde con
una serie de medidas muy poco dispersas, y por tanto con poco error. Por el contrario si la
distribución es abierta, la desviación estándar es grande.
Una de las propiedades de la distribución normal es que la probabilidad que encierra en el
intervalo (m-o´, m+o´)es del 68.3 % aproximadamente. Es decir, es de esperar que el
68.3 % de las medidas de una magnitud estén comprendidas en ese intervalo. Dicho de otra
forma, si medimos una magnitud un número grande de veces, el 68.3 % de los valores
obtenidos estarán comprendidos en el entorno de una desviación estándar en torno a la media.
La probabilidad se amplía al 95.4 % y al 99.7 % si consideramos los intervalos(m-2o´, m+2o´) y (m-3o´, m+o´) y respectivamente.
Conviene insistir finalmente en que no es posible determinar la media y la desviación estándar
de una distribución, sino solamente estimarlas.

16.4. Medidas sin dispersión. Error de lectura o instrumental

En ocasiones la repetición de la medida de una magnitud conduce siempre al mismo valor.
Como ejemplo, consideremos la medida de la longitud de un objeto con una regla graduada en
milímetros. Si la medida se realiza con cierta atención, todas las medidas del objeto
proporcionan el mismo valor. Es evidente que en este caso la teoría anterior no resulta
aplicable, porque al ser nula la dispersión, la desviación estándar resulta igual a cero. En estos
casos, la fuente de error no está en la superposición de muchas causas aleatorias, sino en la
sensibilidad del aparato de medida.
En efecto, el hecho de que todas las medidas sean iguales no indica en general que no haya
error accidental, sino que éste es demasiado pequeño para quedar reflejado en el aparato. En
el ejemplo anterior, si el error accidental de las medidas es del orden de 0,001 mm es evidente
que la regla no podrá apreciarlo, resultando todas las medidas iguales. En estos casos es
necesario estimar el error debido a la sensibilidad finita del aparato de medida.
Se llama sensibilidad de un aparato a la mínima variación de la magnitud medida que es
capaz de detectar. En los instrumentos analógicos coincide frecuentemente con la mínima
división de la escala. En el ejemplo anterior la sensibilidad de la regla es de 1 mm.
Suele llamarse apreciación al máximo error que puede cometerse debido a la sensibilidad del
aparato. Generalmente se considera como la mitad de la sensibilidad. Esto puede
comprenderse con un ejemplo. Supongamos un voltímetro de 0,1 V de sensibilidad, cuya
aguja indica una tensión comprendida entre 2,1 V y 2,2 V, es decir, la aguja señala un punto
intermedio entre las dos marcas o divisiones de la escala. Si el aparato está bien diseñado, una
persona con apreciación visual media debe ser capaz de decidir si la aguja está más cerca de
2,1 V o de 2,2 V. Cometeremos el máximo error cuando la aguja se encuentre justamente en
el centro de las dos divisiones. En tal caso el error de dar como lectura 2,1 V o 2,2 V es de
0,05 V, es decir la mitad de la sensibilidad.
Es frecuente expresar el error instrumental o de lectura eins de forma que en el intervalo (meins,
m+eins) haya un 68 % de probabilidad de encontrar el valor de magnitud medida. Se
escoge este valor por coherencia con la definición de desviación estándar de la distribución
normal. Por las consideraciones anteriores podemos suponer que el valor de la magnitud
medida se encuentra con seguridad en el intervalo (m-s/2, m+s/2) donde s es la
sensibilidad y por tanto la apreciación. Si se acepta que es igualmente probable que el valor
de la magnitud se encuentre en cualquier punto de este intervalo, para reducir la probabilidad
al 68 %, debemos reducir el intervalo proporcionalmente, es decir, en un factor aproximado
de 2/3. Con ello el radio del intervalo resulta: (s/2).(2/3)=s/3 .
En resumen, el error instrumental de una medida se expresa frecuentemente por:
eins=s/3 (9)
Donde: s es la sensibilidad del aparato de medida.
Hemos visto que cuando el error instrumental es mucho mayor que el accidental, éste queda
enmascarado por aquel. El efecto inverso es también posible. Por tanto, en los casos en que el
error accidental de una medida sea mucho mayor que el instrumental, sólo consideraremos el
error accidental. En aquellos casos en que los errores sean del mismo orden de magnitud,
puede considerarse que el error total es la suma de los dos:
e=eins+O` (10)
donde eins error instrumental y es el error accidental expresado por la desviación
estándar.

16.5. Propagación de Errores

Las operaciones matemáticas con números inciertos dan lugar a resultados también inciertos,
y es importante poder estimar el error de los resultados a partir de los errores de los números
con los que se opera.
Consideremos un ejemplo sencillo para ilustrar este tema. Supongamos que se mide el lado
(x) de una parcela de terreno cuadrada, y a partir de esta medida quiere obtenerse su superficie
(y). La medida del lado llevará aparejada un error, que puede ser de origen accidental,
instrumental o combinación de ambos. Admitamos que el lado mide 8 m y que el error es de 1
m. El valor de la superficie es por tanto de 64 m2, y estamos interesados en estimar su error.
El error en la medida del lado puede interpretarse como el radio de un entorno alrededor del
valor nominal, en cuyo interior estará el valor del lado con una determinada probabilidad. Si
proyectamos este entorno sobre la curva obtendremos otro entorno en el eje de ordenadas que
representa el error de la superficie. Inspeccionando la figura llegamos a la conclusión de que
el error de la superficie es de algo más de 15 m2.
En una medida de precisión normal, el error es lo suficientemente pequeño como para poder
sustituir la curva por la recta tangente a la curva. La relación entre el error de y y el error de x
será entonces la pendiente de la curva en el punto de interés. Es decir, la relación entre el error
del lado y el error de la superficie es la derivada de la función:
ey=(dy/dx)ex (11)

En nuestro caso: dy/dx=2x. Como el valor del lado es 8, el error de la superficie (y) es 16
veces el error del lado.
En un caso más general tendremos dos o más variables en lugar de sólo una. Por ejemplo, si la
parcela anterior es rectangular en vez de cuadrada, la superficie es función de dos variables: la
base (x) y la altura (y). La medida de cada una de estas dos variables tendrá un cierto error,
que se propagará al valor de la superficie: S=x.y.
La contribución del error de cada lado al error de la superficie vendrá dado por una ecuación
similar a la 11. Parece lógico pues que el error total de la función S sea la suma de las
contribuciones de cada una de las variables, es decir:
es=[Ds/Dx]ex +[Ds/dy]ey (12)
Se ha sustituido la derivada total por derivadas parciales. Se ha tomado el valor absoluto de
cada término para evitar que unas derivadas positivas puedan compensarse con otras
negativas.
Es importante tener presente que esta expresión es válida sólo en los siguientes supuestos:

El error de cada variable es mucho menor que la propia variable.

Las variables son independientes en el sentido estadístico del término. Quiere esto
decir que el valor de una de ellas no afecta en absoluto al valor de la otra. Por ejemplo,
la estatura de una persona y su peso no son variables independientes. Si medimos el
peso y la estatura de un gran número de personas llegaremos a la conclusión de que
generalmente las personas más altas pesan también más.
La aplicación de la ecuación 12 permite calcular el error de una suma, producto, etc., de dos
variables. Si tenemos una función de n variables: z=f(x1,x2,...,xn) es facil
generalizar la ecuación anterior:
ez=[-(dz/dxi)exi
Una aplicación importante de la situación anterior es la elección del equipo adecuado de
medida. Ignorar este paso puede acarrear importantes pérdidas de tiempo y dinero. Si se
excede la tolerancia requerida, seguramente se dilapidó esfuerzo y recursos innecesariamente;
por el contrario, si se realizó la medición con más error del requerido, la medición podría ser
inútil para los fines perseguidos.

16.6. Ajuste por mínimos cuadrados

Hasta ahora nos hemos ocupado de la manera de obtener el mejor valor de una magnitud a
partir de una o varias medidas. Un problema más general es determinar la relación funcional
entre dos magnitudes x e y como resultado de experimentos.
Supongamos que por razones teóricas bien fundadas sabemos que entre x e y existe la relación
lineal
y=ax+b
y deseamos determinar los parámetros a y b a partir de n medidas de x e y. a es la pendiente
de la recta, es decir, la tangente del ángulo que forma con el eje de abscisas, y b la ordenada
en el origen, es decir la altura a la que corta la recta al eje de ordenadas.
Para concretar, supongamos que los valores que han resultado de un experimento son los
siguientes:
Xi 1 2 3 4 5 6
Yi 1.5 2.5 4.0 3.6 5.9 6.1
Ante un problema de este tipo, lo primero que conviene hacer es representar gráficamente los
resultados para observar si los valores medidos se aproximan a una recta o no.
Es importante darse cuenta de
que los seis puntos dibujados no pasan todos por la misma recta. Esto es debido a los errores
de las medidas, por lo que los puntos se distribuyen de forma más o menos aleatoria en torno
a esa recta. A pesar de ello es claramente visible la tendencia lineal de los puntos.
Para determinar la recta que mejor se adapta a los puntos se emplea el llamado método de los
mínimos cuadrados. Para un valor de x determinado, la recta de ajuste proporciona un valor
diferente de y del medido en el experimento. Esta diferencia será positiva para algunos puntos
y negativa para otros, puesto que los puntos se disponen alrededor de la recta. Por este
motivo, la suma de estas diferencias para todos los puntos es poco significativa (las
diferencias negativas se compensan con las positivas).