1. Sensores Resistivos.

Los sensores moduladores del tipo resistivos, son aquellos que varían una resistencia en
función de la variable a medir. Se ha realizado una clasificación de estos sensores en
función de la variable a medir, tal como refleja la tabla siguiente:

1.1. Potenciómetros (Variables mecánicas)

El potenciómetro es un sensor utilizado para medir la variable mecánica desplazamiento, y
consiste de un dispositivo con dos partes y tres terminales.
Una de las partes es una resistencia fija descubierta la cual puede ser de carbón o de hilo
arrollado.
La otra parte es un contacto móvil que se desplaza por la resistencia fija.
En Teoría, para un conductor cualquiera, su resistencia viene dada por:

donde:
ρ = Resistividad del material (Ωm)
A = Sección transversal
l = Longitud del conductor.
En la figura siguiente se muestra el modelo de un potenciómetro. Si se denomina x a la
distancia recorrida por el cursos, la resistencia obtenida será:

El problema de este tipo de sensor es:
a. Varía con la temperatura.
b. Varía con la deformación de la sección transversal, causada por la presión o fuerzas
ejercidas sobre el.
c. El contacto del cursor origina desgaste, modificando la sección transversal.

1.2. Galgas extensométricas (Variables mecánicas)

Se basan en el efecto piezorresistivo ya descrito para el potenciómetro. LA diferencia es
que ahora se busca modificar la resistencia variando algunos de los parámetro de la
resistencia, por ejemplo, su longitud l o su sección transversal A.
Si a una pieza de material resistivo se le aplica un esfuerzo, esta se deformará, y cambiará
su resistencia. Por tanto, este tipo de sensores se utiliza para medir fuerza o presión, aunque
tamb
Todo material al que se le aplica un esfuerzo se deformará en mayor o menor grado, y
llegará a un punto en que se romperá. Esta relación esfuerzo vs. deformación se muestra en
la siguiente gráfica.ién puede aplicarse a la medida de desplazamientos pequeños.

1.3. Termorresistencias (Variable térmicas)

Una termorresistencia es un dispositivo que varía su resistencia con la temperatura. Suele
denominarse RTD (Resistive temperature detector) por sus siglas en ingles.
El símbolo que la caracteriza es.

El símbolo sin flecha indica que la variación es intrínseca por la característica resistiva, no
por manipulación manual.
La ecuación característica de las termorresistencia es la siguiente.

Este dispositivo tiene como limitaciones.
o No puede medir temperaturas próximas a la de la fusión del conductor con que se
fabrica.
o El autocalentamiento ocasionará derivas en la medición.
o S se deforma, puede cambiar su patrón de medición.
Tiene como ventaja el ser diez veces mas sensible que los termopares, tal como se verá mas
adelante.
Normalmente no es necesario considerar todos los coeficientes de la ecuación (19), sino
que considerando solo el primer término se tiene una excelente aproximación, es decir,

Donde α es la sensibilidad del material, y R0 es la resistencia a la temperatura de referencia
(normalmente 0 grados).
En la tabla siguientes muestran las Termorresistencias típicas:

LA termorresistencia mas común por su linealidad es la de platino, que se suele denominar.
Pt100 (termorresistencia de platino con R0 =100 Ω a 0° C)
Pt1000 (termorresistencia de platino con R0 =1000 Ω a 0° C)

1.4. Termistores (Variables térmicas)

Los termistores también son resistencia que varían su magnitud con la temperatura. Se
diferencian de las termorresistencia por que están basadas en semiconductores. Por tanto su
característica no es lineal, aunque dentro de un margen adecuado pueda ser considerada de
esa manera.
Su símbolo será:

La raya quebrada indica que no es lineal. El elemento positivo o negativo indica que tiene
una característica positiva o negativa respectivamente. Es decir, si es de coeficiente
positivo, PTC, la resistencia se incrementa con la temperatura. Si es de coeficiente
negativo, NTC, disminuye con la temperatura.
En el caso de una NTC la ecuación característica será

donde.
B = temperatura característica del material (2000 K a 5000 K)
R0 = Resistencia a la temperatura de referencia T0, normalmente la temperatura ambiente
(25 °C o 298 K)
Tiene como ventajas el ser más sensible que las Termorresistencias, mas rápidas y permite
hilos de conexión mayores.
Tiene como desventaja el ser no lineal, y al variar su temperatura por el autocalentamiento
del material.
Los termistores tiene muchas aplicaciones algunos de los cuales son.
a. Medida directa de temperatura por variación de corriente:

b. Medida de caudal en circuito puente.

c. Protección por autocalentamiento.

1.5. Magnetorresistencias (Variable magnéticas)

Las magnetorresistencias se basan en la variación de resistencia en un conductor por
variaciones en el campo magnético. Este efecto se denomina efecto magnetorresistivo y fue
descubierto por Lord Kelvin en 1856

Este tipo de sensores tiene la ventaja con respecto a los sensores inductivos, por ser de
orden cero, y con respecto a los sensores de efecto Hall por ser más sensible y proveer un
mayor margen de medición de medición.
Está formada por una aleación de Hierro y Níquel (permalloy)
Tiene las siguientes aplicaciones:
o Medición de campos magnéticos en las lectoras de tarjetas.
o Otras magnitudes que provean un cambio en el campo magnético, como el
desplazamiento de una pieza, detectores de proximidad, nivel de flotador, etc.

En estos casos se utiliza un imán que cambia su posición con el proceso. El campo
generado por el imán es medido por la magnetorresistencia.

1.6. Fotorresistencias (Variables ópticas)

Las fotorresistencia o LDR, es un dispositivo que cambia su resistencia por el nivel de
incidencia de luz. Esta formada por materiales semiconductores.
Su símbolo:

1.7. Higrómetros resistivos (Variables químicas)

El higrómetro se utiliza para medir humedad. Se basan en la variación de resistencia que
experimentan los materiales por la humedad, como el vapor de agua en un gas o el agua
absorbida en un líquido o sólido.

Un material típico es el aislante eléctrico, el cual disminuye su resistencia al aumentar su
contenido de humedad.

1.8. Acondicionamiento: Puente de Wheastone, Amplificador de Instrumentación.

1.8.1. Puente de Wheatstone:
El puente de Wheatstone es un dispositivo orientado a corregir parte del problema que
presenta la configuración anterior: Linealidad y sensibilidad.
El circuito es el mostrado a continuación.






Donde,




Si en el equilibrio se considera





Entonces,


Se ha obtenido una relación no lineal, lo cual será proporcional solo cuando x <<>

¿Cómo medir la salida de un puente?
Veamos estas alternativas:
a. Mediante un galvanómetro, aunque este tiene el problema de su baja resistencia.
b. Con un Osciloscopio se tiene le problema que no posee entradas diferenciales.
c. Con un Multímetro digital puede resultar muy costoso.

1.8.2 Amplificador de Instrumentacion:
Se denomina amplificador d instrumentación a aquel dispositivo que tenga
simultáneamente alta impedancia de entrada, alto rechazo del modo común, ganancia
estable y variable con una sola resistencia, y que no se contraponga ganancia-ancho de
banda, tensión y corriente de fugas bajas, bajas derivas, impedancia de salida baja.
La estructura típica de un A.I. es la mostrada en la figura siguiente, cuya ecuación es:

Si R4 = R5 = R6 = R7 , entonces,

Con R2 se puede variar la ganancia pero no de forma lineal.
Algunos amplificadores de instrumentación monolíticos son:
Analog Devices: AD624
National : LM363
Burr-Brown: INA101
Linear: LTC1100, LT1101
Ya que esta estructura es muy típica, algunos fabricantes la ofrecen con redes de
resistencias y poder cambiar el valor de la ganancia.
El terminal denominado referencia es accesible en algunas versiones, con el fin de poder
desplazar el nivel de tensión de referencia de la salida.

2. Sensores de reactancia variable

Los sensores de reactancia variable tiene las siguientes ventajas con respecto a los
resistivos:
a. Efecto de carga mínimo o nulo.
b. Ideales para la medida de desplazamientos lineales y angulares y para la medida de
humedad.
c. La no-linealidad intrínseca puede superarse usando sensores diferenciales.
Como limitación tiene que la máxima frecuencia de variación admisible en la variable
medida debe ser menor a la frecuencia de la tensión de alimentación empleada.
En este apartado veremos los sensores capacitivos e inductivos.

2.1. Sensores Capacitivos

Los sensores de este tipo pueden ser simples (Co +/- C) y diferenciales (Co + C , Co – C).
El caso simple es el condensador variable.
2.1.1. Condensador variable
Un condensador esta formado por dos placas y un dieléctrico.
Donde,

pero la capacidad C es función de la geometría del conductor, el material del dieléctrico.
Por ejemplo, para un condensador de placas planas y paralelas se tiene:

donde ε0 = 8.85 pF/m y εr = ε / ε0
ε es la constante dieléctrica del material y ε0 es la constante dieléctrica del vacío

Por tanto, con variar la geometría o el dieléctrico se puede usar para medir un fenómeno
físico.
Los problemas que presenta este tipo de medidor es que.
a. No se puede despreciar el efecto de los bordes .
b. El aislamiento entre placas debe ser alto y constante.
c. Existen muchas interferencias capacitivas.
d. Los cables de conexión generan condensadores parásitos.
El efecto de bordes es importante ya que en la ecuación de C se indica que esta está
afectada por la distancia entre las placas. Realmente está afectada por la distancia que
recorren los electrones desde una placa a la otra. Esto es asumiendo que se desplazan
perpendicularmente sobre las placas. Pero en la práctica no es así, y ocurre que en los
bordes el desplazamiento es angular, recorriendo una distancia mayor. Esto genera un error.
Esto se corrige utilizando guardas. La guarda consiste en rodear un o de los electrodos con
un anillo puesto al mismo potencial del mismo electrodo.

2.2. Sensores Inductivos

Los sensores inductivos son aquellos que producen una modificación de la inductancia o
inductancia mutua por variaciones en un campo magnético. Esta variaciones pueden ser
fruto de perturbaciones en el campo, o modificación de la distancia de influencia del
campo. Solo hablaremos de dos tipos: la reluctancia variable y la inductancia mutua.

2.2.1. Reluctancia variable
Este tipo de sensor se basa en la ley.

donde φ es el flujo de campo magnético, I es la corriente y N es el número de vueltas del
inductor.

Pero el flujo magnético es igual al cociente entre la fuerza magnetomotriz M y la
reluctancia magnética R, y además, M = NI, por lo que:

Para una bobina de longitud L y sección de área A, donde la longitud sea mucho mayor que
el diámetro de las espiras se tiene:


donde
μr es la permeabilidad relativa del núcleo
L = recorrido de las líneas de campo en el aire.
A = Area de las bobinas.

Normalmente se aprovechan las variaciones de la longitud y de la permeabilidad.
Cuando lo que varía es la distancia L se está hablando de sensores de entrehierro variable, y
cuando lo que varia es la permeabilidad se dice que se está hablando de sensores de núcleo
móvil.
Esto sensores tiene los siguientes problemas:
a. Los campos magnéticos parásitos afectan a L, por lo que se deben apantallar.
b. La relación L y R no es constante y varía hacia los extremos.
c. L y R son inversamente proporcionales, por lo que las medidas serán normalmente no
lineales.
d. La temperatura de trabajo debe ser menor a la de Curie del material usado.
Por contra tienen la siguientes ventajas:
a. La humedad los afecta muy poco.
b. Tiene poca carga mecánica.
c. Y una alta sensibilidad.

2.2.2. Inductancia mutua (LVDT)
Este tipo de sensores se basa en la variación de la inductancia mutua entre un primario y
cada uno de los dos secundarios al desplazar el núcleo. La denominación LVDT viene de
Linear Variable Differential Transformer

Aunque este dispositivo cambia la impedancia mutua, la salida es una tensión alterna
modulada, no un cambio de impedancia.
Tiene como limitaciones que en el centro la inductancia mutua no se anula, por deficiencias
en el proceso de construcción. Además existe la presencia de armónicos en la salida
Sin embargo tiene las siguientes ventajas:
a. Resolución infinita.
b. Poca carga mecánica.
c. Bajo rozamiento: vida ilimitado y alta fiabilidad.
d. Ofrecen aislamiento eléctrico entre el primario y el secundario.
e. Aísla el sensor (vástago) del circuito eléctrico
f. Alta repetibilidad.
g. Alta linealidad.
Tiene alcances desde 100 micrometro hasta 25 centímetros.
Cuando estos dispositivos tiene la electrónica DC se denominan LVDT de continua
(DCLVDT).
5
SI la medida es angular se denominan RVDT.

2.2.3. Acondicionamiento de sensores inductivos
Para el acondicionamiento de los sensores inductivos se suele utilizar los divisores de
tensión y puentes de alternas vistos para los sensores capacitivos.
Para el LVDT habrá que utilizar un amplificador de portadora y detección coherente.
Como su salida es de suficiente amplitud no suelen requerir de amplificación. Una
alternativa es usar rectificadores de media onda u onda competa, y restar el resultado.

3. Sensores electromagnéticos

3.1. Basados en ley de Faraday
Se basa en el principio de que una variación en el flujo magnético sobre una bobina, genera
una fuerza electromotriz.
Las condiciones que deben cumplirse para poder usar este tipo de medidor son:
o Perfil de velocidades simétrico.
o Tubería no metálica ni magnética: teflón o cerámica.
o Electrodo de acero o titanio
o Tubería llena
o Campo magnético continuo o alterno.
o Ideal para aguas residuales, líquidos corrosivos o con sólidos en suspensión.

3.2. De efecto Hall
El efecto hall se refiere a la generación de un potencial en un conductor por el que circula una
corriente y hay un campo magnético perpendicular a esta.
Tiene como limitación.
o La temperatura cambia la resistencia del material.
o Hay un error de cero debido a inexactitudes físicas,
Tiene como ventajas:
o Salida independiente de la velocidad de variación del campo magnético.
o Inmune a las condiciones ambientales.
o Sin contacto.
Se puede aplicar a la medida de campos magnéticos, medida de desplazamientos, etc.

1. Descripción de un sistema de medida y control.

En todo proceso industrial o no, se presentan innumerables situaciones en las que se necesita
conocer el estado o valor de las variables del proceso con el fin de poder actuar sobre ellas para
garantizar obtener los resultados deseados. En un tanque de agua, por ejemplo (figura 1), existe
un proceso que garantiza que siempre haya agua al nivel deseado. Este proceso está formado por
un sistema electrónico o no que registra, capta o sensa el nivel del agua en el tanque. El resultado
puede o no ser visualizado pero su magnitud o valor es proporcional al valor de la variable física
medida: el nivel del agua. Este resultado será utilizado por otro sistema que se encargará de
decidir si el nivel del agua es el adecuado. Finalmente, habrá otro sistema que se encargará de
ejecutar la decisión del sistema anterior: Si el nivel del agua es muy baja, abrirá una válvula para
subirlo, y si es muy alto, cerrará una válvula para bajarlo.

2. Identificación del sistema de medida y sus bloques constitutivos

Un sistema de medida es la combinación de dos o más elementos, subconjuntos y partes
necesarias para realizar la asignación efectiva y empírica de un número a una propiedad o
cualidad de un objeto o evento, de tal forma que la describa [Pallas, Sensores].
Es decir, el resultado dela medida debe ser independiente del observador (objetiva) y basada en la
experimentación (empírica).
Toda medición exige tres funciones básicas: adquirir la información, mediante un elemento
sensor o transductor, procesar dicha información y presentar los resultados, de forma que puedan
ser percibidos por nuestros sentidos. Puede haber, además, transmisión, si cualquiera de estas
funciones se realiza de forma remota.

2.1. Definición de cada bloque constitutivo:

Transductor: dispositivo que convierte una señal de una forma física en una señal correspondiente
pero de otra forma física.
Se prefieren los transductores electrónicos ya que :
a. La variación de un parámetro no eléctrico de un material viene acompañada por la
variación de un parámetro eléctrico .
b. Para no extraer energía del sistema donde se mide es preferible usar componentes
electrónicos cuyas señales pueden ser posteriormente ampliadas.
c. También es posible agregar múltiples funciones de acondicionamiento.
d. La transmisión es mucho más versátil.
Un sensor es un dispositivo que , a partir de la energía del medio donde se mide, da una señal
transducible que es función de la variable medida.
Un sensor es un transductor de entrada. Si la conversión de señal es para modificar una condición
o parámetro del sistema, se dice que el transductor es un actuador.
Otra distinción importante es la diferenciación entre el elemento primario y sensor electrónico.
La palabra “elemento primario” se usa a nivel industrial para referirse al dispositivo que está en
contacto directo con el medio que se mide: de hecho es un sensor. En cambio, el sensor
electrónico como tal, no tiene por que estar en contacto con el medio que se mide. En estos casos,
el elemento primario convierte la variable de medida en una señal de medida, y el sensor
electrónico convierte esta señal de medida en eléctrica.
Por ejemplo en un medidor de presión diferencial, el elemento primario es un diafragma, y su
deformación se mide con el sensor electrónico.
Acondicionador: son los elementos del sistema de medida que ofrecen, a partir de la señal de
salida de un sensor electrónico, una señal apta para ser presentada o registrada o simplemente
permita un procesamiento posterior mediante un equipo o instrumento estándar. El
acondicionador permite: amplificar, filtrar, adaptar impedancias y modular o demodular.

2.2. Conceptos generales sobre la medida: Margen de medida

La diferencia entre los valores máximo y mínimo de una magnitud constituye su campo o margen
de variación o medida. El menor cambio que se puede discriminar se denomina sensibilidad.
El cociente entre el margen de medida y la resolución se denomina margen dinámico (MD), y se
expresa a menudo en decibelios.

3. El sensor:

Un sensor es un dispositivo que , a partir de la energía del medio donde se mide, da una señal
transducible que es función de la variable medida.
Un sensor es un transductor de entrada. Si la conversión de señal es para modificar una condición
o parámetro del sistema, se dice que el transductor es un actuador.
Otra distinción importante es la diferenciación entre el elemento primario y sensor electrónico.
La palabra “elemento primario” se usa a nivel industrial para referirse al dispositivo que está en
contacto directo con el medio que se mide: de hecho es un sensor. En cambio, el sensor
electrónico como tal, no tiene por que estar en contacto con el medio que se mide. En estos casos,
el elemento primario convierte la variable de medida en una señal de medida, y el sensor
electrónico convierte esta señal de medida en eléctrica.
Por ejemplo en un medidor de presión diferencial, el elemento primario es un diafragma, y su
deformación se mide con el sensor electrónico.
Acondicionador: son los elementos del sistema de medida que ofrecen, a partir de la señal de
salida de un sensor electrónico, una señal apta para ser presentada o registrada o simplemente
permita un procesamiento posterior mediante un equipo o instrumento estándar. El
acondicionador permite: amplificar, filtrar, adaptar impedancias y modular o demodular.

3.1. Clasificación.

Según el aporte de energía, los sensores se pueden dividir en moduladores y generadores. En los
sensores moduladores o activos, la energía de la señal de salida procede, en su mayor parte, de
una fuente de energía auxiliar. La entrada sólo controla la salida. En los sensores generadores o
pasivos, en cambio, la energía de salida es suministrada por la entrada.
Los sensores moduladores requieren en general más hilos que los generadores, ya que la energía
de alimentación suele suministrarse mediante hilos distintos a los empleados para la señal.
Además, esta presencia de energía auxiliar puede crear un peligro de explosiones en algunos
ambientes. Por contra, su sensibilidad se puede modificar a través de la señal de alimentación, lo
que no permiten los sensores generadores.
Según la señal de salida, los sensores se clasifican en analógicos o digitales. En los analógicos la
salida varía, a nivel macroscópico, de forma continua. La información está en la amplitud, si bien
se suelen incluir en este grupo los sensores con salida en el dominio temporal. Si es en forma de
frecuencia, se denominan, a veces, «casi digitales», por la facilidad con que se puede convertir en
una salida digital.
En los sensores digitales, la salida varía en forma de saltos o pasos discretos. No requieren
conversión AID y la transmisión de su salida es más fácil. Tienen también mayor fidelidad y
mayor fiabilidad, y muchas veces mayor exactitud, pero lamentablemente no hay modelos
digitales para muchas de las magnitudes físicas de mayor interés.
Atendiendo al modo de funcionamiento, los sensores pueden ser de deflexión o de comparación.
En los sensores que funcionan por deflexión, la magnitud medida produce algún efecto físico,
que engendra algún efecto similar, pero opuesto, en alguna parte del instrumento, y que está
relacionado con alguna variable útil. Un dinamómetro para la medida de fuerzas es un sensor de
este tipo en el que la fuerza aplicada deforma un muelle hasta que la fuerza de recuperación de
éste. Proporcional a su longitud, iguala la fuerza aplicada.
En los sensores que funcionan por comparación, se intenta mantener nula la deflexión mediante
la aplicación de un efecto bien conocido, opuesto al generado por la magnitud a medir. Hay un
detector del desequilibrio y un medio para restablecerlo. En una balanza manual, por ejemplo, la
colocación de una masa en un platillo provoca un desequilibrio, indicado por una aguja sobre una
escala. El operario coloca entonces una o varias masas en el otro platillo hasta alcanzar el equilibrio,
que se juzga por la posición de la aguja.
Las medidas por comparación suelen ser más exactas porque el efecto conocido opuesto se puede
calibrar con un patrón o magnitud de referencia de calidad.
El detector de desequilibrio sólo mide alrededor de cero y, por lo tanto, puede ser muy sensible y
no necesita estar calibrado. Por contra, tienen en principio menor respuesta dinámica y, si bien se
pueden automatizar mediante un servomecanismo, no se logra normalmente una respuesta tan
rápida como en los de deflexión.
Según el tipo de relación entrada-salida, los sensores pueden ser de orden cero, de primer orden,
de segundo orden o de orden superior (apartado 1.5 del Pallas). El orden está relacionado con el
número de elementos almacenadores de energía independientes que incluye el sensor, y repercute
en su exactitud y velocidad de respuesta. Esta clasificación es de gran importancia cuando el
sensor forma parte de un sistema de control en lazo cerrado.
En el cuadro 1.1 se recogen todos estos criterios de clasificación y se dan ejemplos de sensores de
cada clase. Cualquiera de estas clasificaciones es exhaustiva, y cada una tiene interés particular
para diferentes situaciones de medida.
Ahora bien, para el estudio de un gran número de sensores se suele acudir a su clasificación de
acuerdo con la magnitud medida. Se habla, en consecuencia, de sensores de temperatura, presión,
caudal, humedad, posición, velocidad, aceleración, fuerza, par, etc. Sin embargo, esta
clasificación difícilmente puede ser exhaustiva ya que la cantidad de magnitudes que se pueden
medir es prácticamente inagotable. Piénsese, por ejemplo, en la variedad de contaminantes
químicos en el aire o en el agua, o en la cantidad de proteínas diferentes que hay en el cuerpo
humano y que interesa detectar.

3.2. Interferencias.

Se denomina interferencias o perturbaciones externas aquellas señales que afectan al sistema de
medida como consecuencia del principio utilizado para medir las señales de interés.
Perturbaciones internas son aquellas señales que afectan indirectamente a la salida debidos a su
efecto sobre las características del sistema de medida.
Para medir , por ejemplo una fuerza, se puede usar una galga extensométrica. Esta se basa en la
variación de la resistencia eléctrica de un conductor o semiconductor como resultado de aplicarle
un esfuerzo. UN cambio de temperatura producirá una variación de resistencia, por lo que será
una interferencia.. A su vez, para la medida de los cambios de resistencia hará falta usar un
operacional. Ya que los cambios de temperatura también afectan a las derivas de dicho
amplificador y con ellas a la medida, resulta que dichos cambios son también una perturbación
interna.

3.3. Compensación de errores

Los efectos de las perturbaciones internas y externas pueden reducirse mediante una alteración
del diseño o a base de añadir nuevos componentes al sistema. Un método para ello es el
denominado diseño con insensibilidad intrínseca. Se trata de diseñar el sistema de forma que sea
inherentemente sensible sólo a las entradas deseadas. En el ejemplo anterior se lograría si se
dispusiera de galgas de material con coeficiente de temperatura pequeño. Por razones prácticas
obvias, este método no se puede aplicar en todos los casos.
El método de la realimentación negativa se aplica con frecuencia para reducir el efecto de las
perturbaciones internas, y es el método en el que se basan los sistemas de medida por
comparación. Si la realimentación negativa es insensible a la perturbación considerada y está
diseñada de forma que el sistema no se haga inestable, resulta entonces que la señal de salida no
vendrá afectada por la perturbación.
Otra técnica para reducir las interferencias es el filtrado. Un filtro es todo dispositivo que separa
señales de acuerdo con su frecuencia u otro criterio.
Una última técnica de compensación de perturbaciones es la utilización de entradas opuestas, que
se aplica con frecuencia para compensar el efecto de las variaciones de temperatura. Si, por
ejemplo, una ganancia varía con la temperatura por depender de una resistencia que tiene
coeficiente de temperatura positivo, puede ponerse en serie con dicha resistencia otra que varíe de forma opuesta (con coeficiente de temperatura negativo) y así mantener constante la ganancia a pesar de los cambios de temperatura.

4. Características estáticas de los sistemas de medida.

En la mayoría de las aplicaciones la variable de medida varia tan lentamente que con conocer las
características estáticas del sensor es suficiente.
Estas características son:
a) Exactitud (accuracy): es la capacidad de un instrumento de dar indicaciones que se
aproximen al verdadero valor de la magnitud medida. El valor exacto se obtiene mediante
métodos de medidas validados internacionalmente. La exactitud de obtiene mediante la
calibración estática que no es mas que medir poco a poco una variable, y se construye
entonces el patrón de referencia.
La discrepancia entre el valor correcto y el obtenido es el error. El error puede ser
definido como :
a. Error absoluto, como la resta entre el valor obtenido y el valor verdadero
b. Error relativo, como la relación que hay entre el error absoluto y el valor verdadero
expresado en tanto por ciento
c. Error referido a fondo escala. Es la forma habitual de expresar el error en los
instrumentos y consiste en dividir el error absoluto entre el fondo escala del
instrumento.
El valor medido y su exactitud deben darse con valores numéricos compatibles, de forma
que el resultado numérico de la medida no debe tener mas cifras de las que se puedan
considerar validas.
20ºC + 1ºC es correcto
20ºC+0,1ºC incorrecto
20,5 ºC+1ºC incorrecto
20,5ºC+10% incorrecto
b) La precisión es la cualidad que caracteriza la capacidad de un instrumento de medida de
dar el mismo valor de la magnitud medida, al medir varias veces en unas mismas
condiciones determinadas, prescindiendo de su concordancia o discrepancia con el valor
real de dicha magnitud.
c) La sensibilidad o factor de escala es la pendiente de la curva de calibración , que puede
ser o no constante a lo largo de la escala de medida
La sensibilidad en un punto cualquiera x0 viene dada por:
S(x0) = dy/dx (evaluado en x = x0)
En los sensores se desea una alta sensibilidad y constante.
d) Linealidad expresa el grado de coincidencia entre la curva de calibración y una línea recta
determinada. Hay varios tipos de linealidad:
i. Linealidad independiente: la línea de referencia se obtiene por el método de los
mínimos cuadrados.
ii. Linealidad ajustada al cero: mínimos cuadrados pero que pase por cero
iii. Linealidad terminal
iv. Linealidad a través de los extremos.
v. Linealidad teórica: la recta es la definida por las previsiones teóricas formuladas al
diseñar el sensor.
e) Resolución: es el incremento mínimo de la entrada para el que se obtiene un cambio en la
salida.
f) Histéresis se refiere a la diferencia en la salida para una misma entrada, según la dirección
en que se alcance.

5. Características dinámicas.

En los transductores y en los sistemas de medida se pueden encontrar elementos almacenadores
de energía. Dichos elementos hacen que la respuesta del transductor a señales de entrada
variables, sea distinta de la que presenta cuando las señales son constantes (Características
Estáticas), por lo que se hace necesario describir las unas propiedades relacionadas con la evolución
temporal de las salidas de los transductores, estas son las Características Dinámicas.
1) Error Dinámico.- Es la diferencia entre el valor indicado y el valor exacto de la
variable medida, siendo nulo el error estático.
2) Velocidad de Respuesta.- Indica la rapidez con que el sistema de medida responde
a los cambios en la variable de entrada.
3) Tiempo de Subida o Rise Time (tr).- En los sistemas de primer orden y sobreamortiguados,
es el tiempo transcurrido desde que la salida tiene el 10% de su valor final
hasta que llega al 90% de dicho valor, aplicando un escalón a la entrada. En los sistemas
subamortiguados, es el tiempo que tarda la salida en alcanzar su valor final por
primera vez, aplicando un escalón a la entrada
4) Tiempo de Establecimiento o Settling Time (ts).- Es el tiempo que requiere el sistema
para que su salida se asiente en un margen del valor final, normalmente el 2 ó
5%.
5) Sobreimpulso (Mp).- Es el valor máximo que sobrepasa la salida del sistema a su
valor final. Se suele expresar en %.
Las características dinámicas se estudian mediante la aplicación al transductor de señales
de entradas variables tipo, como son la entrada impulsiva, escalón, rampa o sinosoidal. Una
vez obtenida la respuesta del sensor, ésta se ha de comparar con las de los sistemas dinámicos,
para así hallar la descripción matemática que lo modela. Los sistemas dinámicos más empleados
son los de orden cero, uno y dos.

6. Características de entrada.

El concepto de impedancia de entrada permite evaluar si se produce o no un error por
efecto de carga. En el proceso de medida de una variable ‘X1’ siempre interviene otra variable
‘X2’ tal que ‘X1·X2’ tiene dimensiones de potencia: Fuerza·Velocidad, Temperatura·Flujo de
Calor, Tensión·Corriente, etc.
Si las variables son mecánicas se definen:
1) Variables Esfuerzo.- Se miden en un punto o región del espacio. (Ej. fuerza)
2) Variables Flujo.- Se miden entre dos puntos o regiones del espacio (Ej. velocidad)
y si no lo son:
1) Variables Esfuerzo.- Se miden entre dos puntos o regiones del espacio (Ej. tensión)
1) Variables Flujo.- Se miden en un punto o región del espacio. (Ej. corriente)
Así, la Impedancia de Entrada, , se define como el cociente de las transformadas de
Laplace de una variable esfuerzo y la variable flujo asociada, siempre que se pueda describir
mediante relaciones lineales.

7. Errores en los sistemas de medida y su análisis

Los errores de un sistema se determinan a partir de su calibración, que consiste en aplicarle
entradas conocidas y comparar su salida con la obtenida con un sistema de medida de referencia,
más exacto.
Según su efecto en la característica de transferencia, los errores pueden ser de cero, de ganancia y de no linealidad.
Un error de cero permanece constante con independencia del valor de la entrada. Un error de
ganancia es proporcional al valor de la entrada. Un error de no linealidad hace que la
característica de transferencia se aparte de una línea recta (suponiendo que sea ésta la
característica ideal).
Según su naturaleza los errores pueden ser sistemáticos o aleatorios.
Un error sistemático tiene siempre la misma amplitud cuando las condiciones del sistema son las
mismas, o bien varía de acuerdo con una ley conocida cuando una de dichas condiciones cambia
de una forma predeterminada.
La calibración permite corregir los errores sistemáticos y estimar la magnitud de los errores
aleatorios (pero no corregirlos).
Según que se manifiesten cuando las señales de entrada son lentas o rápidas, los errores se
denominan estáticos o dinámicos. Un error estático afecta a las señales lentas, por ejemplo de
frecuencia inferior a 0,01 Hz. Un error dinámico afecta a las señales rápidas, y es una
consecuencia de la presencia de elementos que almacenan energía. Dado que en la respuesta
dinámica se consideran dos fases, la respuesta transitoria y la respuesta estacionaria, se habla de
error dinámico transitorio y error dinámico estacionario.
El error dinámico de un sistema depende de su orden y de la forma de la señal de entrada. Las
señales consideradas habitualmente son el escalón, la rampa y las senoidales. Los sistemas de
orden cero no tienen error dinámico. Los sistemas de primer y de segundo orden tienen un error
dinámico para las entradas en rampa y senoidales, incluso en régimen estacionario, y tienen un
error dinámico para las entradas en escalón sólo durante la fase transitoria.
La magnitud de un error se puede expresar como error absoluto o como error relativo. El error
absoluto es la diferencia entre el resultado y el verdadero valor (o valor ideal). El error relativo
es el cociente entre el error absoluto y el verdadero valor. El error absoluto se expresa a veces
como porcentaje de una magnitud de referencia, por ejemplo el valor de fondo de escala. La
elección de una u otra forma de expresión depende del tipo de error. Los errores de cero y de no
linealidad se suelen expresar como errores absolutos. Los errores de ganancia se suelen expresar
como errores relativos. Dado que normalmente hay errores de todos los tipos, la expresión de la
incertidumbre o error total suele incluir un término constante y otro que depende del resultado.
La incertidumbre en una magnitud que se obtiene como resultado de un cálculo en el que
intervienen otras magnitudes y depende de la incertidumbre en el valor de cada una de ellas.
Por ejemplo si se quiere medir la temperatura a través de un divisor de tensión, en el cual hay una resistencia parásita R y un sensor resistivos RT, calcular la influencia de cada elemento en el
valor deseado de tensión de salida.

8. Incertidumbre de las Medidas

La limitación de los elementos físicos disponibles para realizar un sistema de medida hacen
que las señales de salida discrepen de las que se obtendrían con un sistema ideal. Estas
discrepancias se denominan errores y, dado que algunas de ellas son inevitables, el objetivo es
reducirlas de modo que a partir de la salida se pueda determinar el valor de la entrada con una
incertidumbre aceptable. El número de cifras con que se exprese un resultado debe concordar
con la incertidumbre que tenga asociada.
Los errores de un sistema se determinan a partir de su calibración, que consiste en aplicarle
entradas conocidas y comparar su salida con la obtenida con un sistema de medida de
referencia, más exacto.
Las medidas nunca permiten obtener el “verdadero valor” de la magnitud que se mide. Esto es
debido a multitud de razones. Las más evidentes son las imperfecciones, inevitables en un
cierto grado, de los aparatos y de nuestros sentidos. El “verdadero valor” de una magnitud no
es accesible en la realidad y por ello resulta más propio hablar de estimaciones, medidas o
aproximaciones del valor de una magnitud. Independientemente de estas consideraciones, en
el ámbito de la Instrumentación se sabe que no tiene sentido hablar del valor de una magnitud,
sino sólo de la probabilidad de obtener uno u otro valor en una determinada medida de esta
magnitud. Esto no es el resultado de las imperfecciones de los aparatos, sino de la propia
esencia de la naturaleza. Este carácter probabilístico de las magnitudes se hace patente a nivel
microscópico.
La consecuencia de las consideraciones anteriores, es que toda medida es incierta o está
dotada de un cierto grado de incertidumbre. Es esencial estimar ésta incertidumbre, primero
porque el conocimiento de la incertidumbre aumenta la información que proporciona la
medida, y segundo, porque este conocimiento permite manejar las medidas con la prudencia
que dicta el conocimiento de la confianza que nos merecen.
Cuando se exprese el resultado de una medida es pues necesario especificar tres elementos:
número, unidad e incertidumbre. La ausencia de alguna de ellas elimina o limita la
información que proporciona.
Según su naturaleza los errores pueden ser sistemáticos o aleatorios.

9. Error Sistemático

La limitación de los elementos físicos disponibles para realizar un sistema de medida hacen
que las señales de salida discrepen de las que se obtendrían con un sistema ideal. Estas
discrepancias se denominan errores y, dado que algunas de ellas son inevitables, el objetivo es
reducirlas de modo que a partir de la salida se pueda determinar el valor de la entrada con una
incertidumbre aceptable. El número de cifras con que se exprese un resultado debe concordar
con la incertidumbre que tenga asociada.
Los errores de un sistema se determinan a partir de su calibración, que consiste en aplicarle
entradas conocidas y comparar su salida con la obtenida con un sistema de medida de
referencia, más exacto.
Las medidas nunca permiten obtener el “verdadero valor” de la magnitud que se mide. Esto es
debido a multitud de razones. Las más evidentes son las imperfecciones, inevitables en un
cierto grado, de los aparatos y de nuestros sentidos. El “verdadero valor” de una magnitud no
es accesible en la realidad y por ello resulta más propio hablar de estimaciones, medidas o
aproximaciones del valor de una magnitud. Independientemente de estas consideraciones, en
el ámbito de la Instrumentación se sabe que no tiene sentido hablar del valor de una magnitud,
sino sólo de la probabilidad de obtener uno u otro valor en una determinada medida de esta
magnitud. Esto no es el resultado de las imperfecciones de los aparatos, sino de la propia
esencia de la naturaleza. Este carácter probabilístico de las magnitudes se hace patente a nivel
microscópico.
La consecuencia de las consideraciones anteriores, es que toda medida es incierta o está
dotada de un cierto grado de incertidumbre. Es esencial estimar ésta incertidumbre, primero
porque el conocimiento de la incertidumbre aumenta la información que proporciona la
medida, y segundo, porque este conocimiento permite manejar las medidas con la prudencia
que dicta el conocimiento de la confianza que nos merecen.
Cuando se exprese el resultado de una medida es pues necesario especificar tres elementos:
número, unidad e incertidumbre. La ausencia de alguna de ellas elimina o limita la
información que proporciona.
Según su naturaleza los errores pueden ser sistemáticos o aleatorios.

10. Error Aleatorio

Un error aleatorio tiene una magnitud que cambia de unas a otras ocasiones a pesar de que las
condiciones del sistema sean las mismas.
Los errores aleatorios se manifiestan cuando se mide repetidamente la misma magnitud con el
mismo instrumento y el mismo método, y presentan las siguientes propiedades:
1. Los errores aleatorios positivos y negativos de igual valor absoluto tienen la misma
probabilidad del producirse.
2. Los errores son tanto menos probables cuando mayor sea su valor.
3. Al aumentar el número de medidas, la media aritmética de los errores aleatorios de
una muestra tiende a cero.
4. Para un método de medida determinado, los errores aleatorios no exceden de cierto
valor. Las medidas que lo superan deben repetirse y, en su caso, estudiarse por
separado.
La calibración permite corregir los errores sistemáticos y estimar la magnitud de los errores
aleatorios (pero no corregirlos).

11. Errores Estáticos y Errores Dinámicos

Según que se manifiesten cuando las señales de entrada son lentas o rápidas, los errores se
denominan estáticos o dinámicos.
Un error estático afecta a las señales lentas, por ejemplo de frecuencia inferior a 0,01 Hz. Un
error dinámico afecta a las señales rápidas, y es una consecuencia de la presencia de
elementos que almacenan energía. Dado que en la respuesta dinámica se consideran dos fases,
la respuesta transitoria y la respuesta estacionaria, se habla de error dinámico transitorio y
error dinámico estacionario.
El error dinámico de un sistema depende de su orden y de la forma de la señal de entrada. Las
señales consideradas habitualmente son el escalón, la rampa y las senoidales. Los sistemas de
orden cero no tienen error dinámico. Los sistemas de primer y de segundo orden tienen un
error dinámico para las entradas en rampa y senoidales, incluso en régimen estacionario, y
tienen un error dinámico para las entradas en escalón sólo durante la fase transitoria. En los
sistemas de segundo orden la fase transitoria dura tanto más cuanto menor sea el
amortiguamiento. El error dinámico para entradas senoidales incluye un retardo y un error de
amplitud, pero normalmente al hablar de error dinámico se suele sobrentender el error de
amplitud.

12. Forma de expresar los errores

La magnitud de un error se puede expresar como error absoluto, como error relativo o como
error referido a fondo escala. El error absoluto es la diferencia entre el resultado y el
verdadero valor (o valor ideal). El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el
verdadero valor. El error absoluto se expresa a veces como porcentaje de una magnitud de
referencia, por ejemplo el valor de fondo de escala. La elección de una u otra forma de
expresión depende del tipo de error.

12.1. Error Absoluto

Por motivos obvios, y por su propia naturaleza, no es posible determinar exactamente un
error. En el mejor de los casos, puede llegarse a una estimación de ese error. Cuando el
resultado de una medida se expresa por:
vaor medido=x=gx(unidad) (1)
lo que se quiere decir es que la magnitud medida se encuentran en el intervalo (x-gx, x+gx)
con una determinada probabilidad. Con una medida logramos acotar el
intervalo de valores en los que se encuentra la magnitud que pretendemos medir, pero siempre
con una determinada probabilidad. Es evidente que el error expresado por gx es una
magnitud de la misma clase que la medida y se expresa por tanto con la misma unidad.
También es claro que en las medidas de calidad normal el error gx debe ser mucho menor
que el valor nominal, x. Por definición gx es siempre positivo.

12.2. Error Relativo

El error definido arriba se llama error absoluto. Tiene también interés el error relativo, que se
define como el cociente del error absoluto, gx dividido por x.
error relativo=gx/x
En medidas de una cierta calidad el error relativo debe ser mucho menor que la unidad.
Frecuentemente se expresa multiplicado por 100, con lo que aparece en tanto por ciento del
valor medido:
error relitivo(%)=gx/x.100

13. Cifras significativas

Se considera que las cifras significativas de un número son aquellas que tienen significado
real o aportan alguna información. Las cifras no significativas aparecen como resultado de los
cálculos y no tienen significado alguno. Las cifras significativas de un número vienen
determinadas por su error. Son cifras significativas aquellas que ocupan una posición igual o
superior al orden o posición del error.
Por ejemplo, consideremos una medida de longitud que arroja un valor de 5432,4764 m con
un error de 0,8 m. El error es por tanto del orden de décimas de metro. Es evidente que todas
las cifras del número que ocupan una posición menor que las décimas no aportan ninguna
información. En efecto, ¿qué sentido tiene dar el número con precisión de diezmilésimas si
afirmamos que el error es de casi 1 metro?. Las cifras significativas en el número serán por
tanto las que ocupan la posición de las décimas, unidades, decenas, etc, pero no las
centésimas, milésimas y diezmilésimas. Cuando se expresa un número debe evitarse siempre
la utilización de cifras no significativas, puesto que puede suponer una fuente de confusión.
Los números deben redondearse de forma que contengan sólo cifras significativas. Se llama
redondeo al proceso de eliminación de cifras no significativas de un número.

14. Redondeo de Números

Las reglas que se emplean en el redondeo de números son las siguientes:

Si la cifra que se omite es menor que 5, se elimina sin más.

Si la cifra eliminada es mayor que 5, se aumenta en una unidad la última cifra
retenida.

Si la cifra eliminada es 5, se toma como última cifra el número par más próximo; es
decir, si la cifra retenida es par se deja, y si es impar se toma la cifra superior.

Algunos ejemplos. Si redondeamos 3,678 a tres cifras significativas, el resultado es
3,68, que está más cerca del original que 3,67. En cambio si el número a redondear,
también a tres cifras, fuera 3,673, quedaría 3,67 que es más próximo al original que
3,68. Para redondear 3,675, según la tercera regla, debemos dejar 3,68.
Las dos primeras reglas son de sentido común. La tercera es un convenio razonable porque, si
se sigue siempre, la mitad de las veces redondeamos por defecto y la mitad por exceso.
Cuando los números a redondear sean grandes, las cifras eliminadas se sustituyen por ceros.
Por ejemplo, el número 3875 redondeado a una cifra significativa resulta 4000. En este caso
Ing. Angel Custodio 10
suele preferirse la notación exponencial, puesto que si escribimos ``4000'' puede no estar claro
si los ceros son cifras significativas o no3. En efecto, al escribir 4.103 queda claro que sólo la
cifra ``4'' es significativa, puesto que si los ceros también lo fueran escribiríamos 4,000.103.

15. Errores de cero, ganancia y de no linealidad

Un error de cero permanece constante con independencia del valor de la entrada. Un error de
ganancia es proporcional al valor de la entrada. Un error de no linealidad hace que la
característica de transferencia se aparte de una línea recta (suponiendo que sea ésta la
característica ideal).
Los errores de cero y de no linealidad se suelen expresar como errores absolutos. Los errores
de ganancia se suelen expresar como errores relativos. Dado que normalmente hay errores de
todos los tipos, la expresión de la incertidumbre o error total suele incluir un término
constante y otro que depende del resultado.

16. Estimación del Error de una Medida Directa

La estimación del error de una medida tiene siempre una componente subjetiva. En efecto,
nadie mejor que un observador experimentado para saber con buena aproximación cuál es el
grado de confianza que le merece la medida que acaba de tomar. No existe un conjunto de
reglas bien fundadas e inalterables que permitan determinar el error de una medida en todos
los casos imaginables. Muchas veces es tan importante consignar cómo se ha obtenido un
error como su propio valor.
Sin embargo, la aplicación de algunos métodos estadísticos permite objetivar en gran medida
la estimación de errores aleatorios. La estadística permite obtener los parámetros de una
población (en este caso el conjunto de todas las medidas que es posible tomar de una
magnitud), a partir de una muestra (el número limitado de medidas que podemos tomar).

16.1. Mejor valor de un conjunto de Medidas

Supongamos que medimos una magnitud un número n de veces. Debido a la existencia de
errores aleatorios, las n medidas x1, x2, ...xn serán en general diferentes.
El método más razonable para determinar el mejor valor de estas medidas es tomar el valor
medio. En efecto, si los errores son debidos al azar, tan probable es que ocurran por defecto
como por exceso, y al hacer la media se compensarán, por lo menos parcialmente. El valor
medio se define por:
x=(1/n)[-(xi) (4)
y este es el valor que deberá darse como resultado de las medidas.

16.2. Dispersión y Error. Desviación Estándar

Evidentemente, el error de la medida debe estar relacionado con la dispersión de los valores;
es decir, si todos los valores obtenidos en la medición son muy parecidos, es lógico pensar
que el error es pequeño, mientras que si son muy diferentes, el error debe ser mayor.
Adoptando un criterio pesimista, podría decirse que el error es la semi diferencia entre el
valor máximo y el mínimo. Por ejemplo, en una serie de medidas de una magnitud que arrojen
los resultados: 2342 2351 2356 2357
2359 2362 2363 2365
2367 2368 2368 2370
2373 2374 2382 2389
los valores máximo y mínimo son 2342 y 2389. La semi diferencia es 235. La media es 2366,
con lo que si damos como resultado 2366(+/-)235, todos los valores del conjunto de medidas
están en el intervalo.
Este error es sin embargo excesivamente grande, además de que el criterio utilizado es
discutible. Parece más apropiado tomar como error la desviación media, es decir, el valor
medio de la diferencia de los datos respecto al valor central. Sin embargo, como los datos
difieren tanto por defecto como por exceso del valor medio, tal desviación se aproximaría a
cero. Para evitarlo suele tomarse, no el valor medio de las desviaciones, sino el valor medio
de las desviaciones al cuadrado. De esta forma todos los sumandos son positivos. Para que la
unidad de este número sea homogénea con la de los datos, se extrae la raíz cuadrada. El valor
resultante se llama desviación típica o desviación estándar del conjunto de datos.

16.3. Significado de la Desviación Estándar. La Distribución Normal

Los valores de la desviación estándar que hemos calculado en la sección anterior, son
realmente estimadores de este parámetro. El conjunto de las medidas de una magnitud,
siempre que exista un error accidental, pueden caracterizarse por medio de una distribución
estadística. Cuando el error es debido a un gran número de pequeñas causas independientes, la
distribución se aproxima a la llamada distribución normal.
La forma de representar en estadística una distribución es representando en abscisas el
conjunto de valores que pueden obtenerse en una medida y en ordenadas la probabilidad de
obtenerlos. En el caso de que la magnitud medida varíe de forma continua, en ordenadas se
representa la probabilidad por unidad de intervalo de la magnitud medida. En una distribución
continua, la probabilidad de que una medida esté entre dos valores x0 y x1 viene representada
por:
p=F(x)/x1/x0 (7)
Donde f(x) es la función de densidad de la distribución. La función de densidad representa la
probabilidad (por unidad de intervalo de la magnitud medida) de obtener un determinado
valor en una medida. Obviamente:
F(X)/(+00)/(-00)=1 (8)
puesto que es seguro (probabilidad 1) obtener un valor cualquiera cuando se mide una
magnitud.
La función de densidad de la distribución normal tiene el aspecto reflejado en la figura 1.
Recibe también el nombre de campana de Gauss debido a su forma. Está caracterizada por
dos parámetros: media y desviación estándar. La media es el valor que con mayor
probabilidad aparecerá en una medida. La desviación estándar refleja lo abierta o cerrada que
es la campana de Gauss correspondiente. Una distribución muy cerrada se corresponde con
una serie de medidas muy poco dispersas, y por tanto con poco error. Por el contrario si la
distribución es abierta, la desviación estándar es grande.
Una de las propiedades de la distribución normal es que la probabilidad que encierra en el
intervalo (m-o´, m+o´)es del 68.3 % aproximadamente. Es decir, es de esperar que el
68.3 % de las medidas de una magnitud estén comprendidas en ese intervalo. Dicho de otra
forma, si medimos una magnitud un número grande de veces, el 68.3 % de los valores
obtenidos estarán comprendidos en el entorno de una desviación estándar en torno a la media.
La probabilidad se amplía al 95.4 % y al 99.7 % si consideramos los intervalos(m-2o´, m+2o´) y (m-3o´, m+o´) y respectivamente.
Conviene insistir finalmente en que no es posible determinar la media y la desviación estándar
de una distribución, sino solamente estimarlas.

16.4. Medidas sin dispersión. Error de lectura o instrumental

En ocasiones la repetición de la medida de una magnitud conduce siempre al mismo valor.
Como ejemplo, consideremos la medida de la longitud de un objeto con una regla graduada en
milímetros. Si la medida se realiza con cierta atención, todas las medidas del objeto
proporcionan el mismo valor. Es evidente que en este caso la teoría anterior no resulta
aplicable, porque al ser nula la dispersión, la desviación estándar resulta igual a cero. En estos
casos, la fuente de error no está en la superposición de muchas causas aleatorias, sino en la
sensibilidad del aparato de medida.
En efecto, el hecho de que todas las medidas sean iguales no indica en general que no haya
error accidental, sino que éste es demasiado pequeño para quedar reflejado en el aparato. En
el ejemplo anterior, si el error accidental de las medidas es del orden de 0,001 mm es evidente
que la regla no podrá apreciarlo, resultando todas las medidas iguales. En estos casos es
necesario estimar el error debido a la sensibilidad finita del aparato de medida.
Se llama sensibilidad de un aparato a la mínima variación de la magnitud medida que es
capaz de detectar. En los instrumentos analógicos coincide frecuentemente con la mínima
división de la escala. En el ejemplo anterior la sensibilidad de la regla es de 1 mm.
Suele llamarse apreciación al máximo error que puede cometerse debido a la sensibilidad del
aparato. Generalmente se considera como la mitad de la sensibilidad. Esto puede
comprenderse con un ejemplo. Supongamos un voltímetro de 0,1 V de sensibilidad, cuya
aguja indica una tensión comprendida entre 2,1 V y 2,2 V, es decir, la aguja señala un punto
intermedio entre las dos marcas o divisiones de la escala. Si el aparato está bien diseñado, una
persona con apreciación visual media debe ser capaz de decidir si la aguja está más cerca de
2,1 V o de 2,2 V. Cometeremos el máximo error cuando la aguja se encuentre justamente en
el centro de las dos divisiones. En tal caso el error de dar como lectura 2,1 V o 2,2 V es de
0,05 V, es decir la mitad de la sensibilidad.
Es frecuente expresar el error instrumental o de lectura eins de forma que en el intervalo (meins,
m+eins) haya un 68 % de probabilidad de encontrar el valor de magnitud medida. Se
escoge este valor por coherencia con la definición de desviación estándar de la distribución
normal. Por las consideraciones anteriores podemos suponer que el valor de la magnitud
medida se encuentra con seguridad en el intervalo (m-s/2, m+s/2) donde s es la
sensibilidad y por tanto la apreciación. Si se acepta que es igualmente probable que el valor
de la magnitud se encuentre en cualquier punto de este intervalo, para reducir la probabilidad
al 68 %, debemos reducir el intervalo proporcionalmente, es decir, en un factor aproximado
de 2/3. Con ello el radio del intervalo resulta: (s/2).(2/3)=s/3 .
En resumen, el error instrumental de una medida se expresa frecuentemente por:
eins=s/3 (9)
Donde: s es la sensibilidad del aparato de medida.
Hemos visto que cuando el error instrumental es mucho mayor que el accidental, éste queda
enmascarado por aquel. El efecto inverso es también posible. Por tanto, en los casos en que el
error accidental de una medida sea mucho mayor que el instrumental, sólo consideraremos el
error accidental. En aquellos casos en que los errores sean del mismo orden de magnitud,
puede considerarse que el error total es la suma de los dos:
e=eins+O` (10)
donde eins error instrumental y es el error accidental expresado por la desviación
estándar.

16.5. Propagación de Errores

Las operaciones matemáticas con números inciertos dan lugar a resultados también inciertos,
y es importante poder estimar el error de los resultados a partir de los errores de los números
con los que se opera.
Consideremos un ejemplo sencillo para ilustrar este tema. Supongamos que se mide el lado
(x) de una parcela de terreno cuadrada, y a partir de esta medida quiere obtenerse su superficie
(y). La medida del lado llevará aparejada un error, que puede ser de origen accidental,
instrumental o combinación de ambos. Admitamos que el lado mide 8 m y que el error es de 1
m. El valor de la superficie es por tanto de 64 m2, y estamos interesados en estimar su error.
El error en la medida del lado puede interpretarse como el radio de un entorno alrededor del
valor nominal, en cuyo interior estará el valor del lado con una determinada probabilidad. Si
proyectamos este entorno sobre la curva obtendremos otro entorno en el eje de ordenadas que
representa el error de la superficie. Inspeccionando la figura llegamos a la conclusión de que
el error de la superficie es de algo más de 15 m2.
En una medida de precisión normal, el error es lo suficientemente pequeño como para poder
sustituir la curva por la recta tangente a la curva. La relación entre el error de y y el error de x
será entonces la pendiente de la curva en el punto de interés. Es decir, la relación entre el error
del lado y el error de la superficie es la derivada de la función:
ey=(dy/dx)ex (11)

En nuestro caso: dy/dx=2x. Como el valor del lado es 8, el error de la superficie (y) es 16
veces el error del lado.
En un caso más general tendremos dos o más variables en lugar de sólo una. Por ejemplo, si la
parcela anterior es rectangular en vez de cuadrada, la superficie es función de dos variables: la
base (x) y la altura (y). La medida de cada una de estas dos variables tendrá un cierto error,
que se propagará al valor de la superficie: S=x.y.
La contribución del error de cada lado al error de la superficie vendrá dado por una ecuación
similar a la 11. Parece lógico pues que el error total de la función S sea la suma de las
contribuciones de cada una de las variables, es decir:
es=[Ds/Dx]ex +[Ds/dy]ey (12)
Se ha sustituido la derivada total por derivadas parciales. Se ha tomado el valor absoluto de
cada término para evitar que unas derivadas positivas puedan compensarse con otras
negativas.
Es importante tener presente que esta expresión es válida sólo en los siguientes supuestos:

El error de cada variable es mucho menor que la propia variable.

Las variables son independientes en el sentido estadístico del término. Quiere esto
decir que el valor de una de ellas no afecta en absoluto al valor de la otra. Por ejemplo,
la estatura de una persona y su peso no son variables independientes. Si medimos el
peso y la estatura de un gran número de personas llegaremos a la conclusión de que
generalmente las personas más altas pesan también más.
La aplicación de la ecuación 12 permite calcular el error de una suma, producto, etc., de dos
variables. Si tenemos una función de n variables: z=f(x1,x2,...,xn) es facil
generalizar la ecuación anterior:
ez=[-(dz/dxi)exi
Una aplicación importante de la situación anterior es la elección del equipo adecuado de
medida. Ignorar este paso puede acarrear importantes pérdidas de tiempo y dinero. Si se
excede la tolerancia requerida, seguramente se dilapidó esfuerzo y recursos innecesariamente;
por el contrario, si se realizó la medición con más error del requerido, la medición podría ser
inútil para los fines perseguidos.

16.6. Ajuste por mínimos cuadrados

Hasta ahora nos hemos ocupado de la manera de obtener el mejor valor de una magnitud a
partir de una o varias medidas. Un problema más general es determinar la relación funcional
entre dos magnitudes x e y como resultado de experimentos.
Supongamos que por razones teóricas bien fundadas sabemos que entre x e y existe la relación
lineal
y=ax+b
y deseamos determinar los parámetros a y b a partir de n medidas de x e y. a es la pendiente
de la recta, es decir, la tangente del ángulo que forma con el eje de abscisas, y b la ordenada
en el origen, es decir la altura a la que corta la recta al eje de ordenadas.
Para concretar, supongamos que los valores que han resultado de un experimento son los
siguientes:
Xi 1 2 3 4 5 6
Yi 1.5 2.5 4.0 3.6 5.9 6.1
Ante un problema de este tipo, lo primero que conviene hacer es representar gráficamente los
resultados para observar si los valores medidos se aproximan a una recta o no.
Es importante darse cuenta de
que los seis puntos dibujados no pasan todos por la misma recta. Esto es debido a los errores
de las medidas, por lo que los puntos se distribuyen de forma más o menos aleatoria en torno
a esa recta. A pesar de ello es claramente visible la tendencia lineal de los puntos.
Para determinar la recta que mejor se adapta a los puntos se emplea el llamado método de los
mínimos cuadrados. Para un valor de x determinado, la recta de ajuste proporciona un valor
diferente de y del medido en el experimento. Esta diferencia será positiva para algunos puntos
y negativa para otros, puesto que los puntos se disponen alrededor de la recta. Por este
motivo, la suma de estas diferencias para todos los puntos es poco significativa (las
diferencias negativas se compensan con las positivas).