sábado, 3 de mayo de 2008

16.3. Significado de la Desviación Estándar. La Distribución Normal

Los valores de la desviación estándar que hemos calculado en la sección anterior, son
realmente estimadores de este parámetro. El conjunto de las medidas de una magnitud,
siempre que exista un error accidental, pueden caracterizarse por medio de una distribución
estadística. Cuando el error es debido a un gran número de pequeñas causas independientes, la
distribución se aproxima a la llamada distribución normal.
La forma de representar en estadística una distribución es representando en abscisas el
conjunto de valores que pueden obtenerse en una medida y en ordenadas la probabilidad de
obtenerlos. En el caso de que la magnitud medida varíe de forma continua, en ordenadas se
representa la probabilidad por unidad de intervalo de la magnitud medida. En una distribución
continua, la probabilidad de que una medida esté entre dos valores x0 y x1 viene representada
por:
p=F(x)/x1/x0 (7)
Donde f(x) es la función de densidad de la distribución. La función de densidad representa la
probabilidad (por unidad de intervalo de la magnitud medida) de obtener un determinado
valor en una medida. Obviamente:
F(X)/(+00)/(-00)=1 (8)
puesto que es seguro (probabilidad 1) obtener un valor cualquiera cuando se mide una
magnitud.
La función de densidad de la distribución normal tiene el aspecto reflejado en la figura 1.
Recibe también el nombre de campana de Gauss debido a su forma. Está caracterizada por
dos parámetros: media y desviación estándar. La media es el valor que con mayor
probabilidad aparecerá en una medida. La desviación estándar refleja lo abierta o cerrada que
es la campana de Gauss correspondiente. Una distribución muy cerrada se corresponde con
una serie de medidas muy poco dispersas, y por tanto con poco error. Por el contrario si la
distribución es abierta, la desviación estándar es grande.
Una de las propiedades de la distribución normal es que la probabilidad que encierra en el
intervalo (m-o´, m+o´)es del 68.3 % aproximadamente. Es decir, es de esperar que el
68.3 % de las medidas de una magnitud estén comprendidas en ese intervalo. Dicho de otra
forma, si medimos una magnitud un número grande de veces, el 68.3 % de los valores
obtenidos estarán comprendidos en el entorno de una desviación estándar en torno a la media.
La probabilidad se amplía al 95.4 % y al 99.7 % si consideramos los intervalos(m-2o´, m+2o´) y (m-3o´, m+o´) y respectivamente.
Conviene insistir finalmente en que no es posible determinar la media y la desviación estándar
de una distribución, sino solamente estimarlas.

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